FUNGSI PRODUKSI

Memperkirakan Cobb-Douglas fungsi produksi

Tiga faktor Cobb-Douglas fungsi produksi adalah:

q = A * (L alpha ^) * (K beta ^) * (M gamma ^) = f (L, K, M).

dimana L = tenaga kerja, K = modal, M = bahan dan perlengkapan, dan q = produk. Simbol "^" berarti "meningkat menjadi kekuasaan," yaitu alpha ^ L berarti "menaikkan nilai L untuk kekuatan dari nilai alpha."

Jika untuk nilai diberikan L, K, dan M, Hessian dari fungsi produksi f adalah negatif pasti, maka isokuan pada titik yang cekung ke asal.

Penurunan I. kembali untuk skala: alpha + beta + gama <1 Dengan menurun kembali ke skala, peningkatan proporsional dalam semua input akan meningkatkan output dengan kurang dari konstanta proporsional. Ketika kita memperkirakan fungsi produksi Cobb-Douglas, kami menemukan bahwa: A = 1,01278, alpha = 0,317, beta = 0,417, dan gamma = 0,186. alpha + beta + gama = 0,317 + 0,417 + 0,186 = 0,92 <1 Kemudian, q = A * (L alpha ^) * (K beta ^) * (M gamma ^) -> q = 1,01278 * (L ^ 0,317) * (K ^ 0,417) * (M ^ 0,186)

Misalkan perusahaan dapat membeli faktor-faktor tersebut pada harga: wL = 7, WK = 13, WM = 6. Biayanya akan:

c (q) = * L wL + K * WK + wm * M = 7 L * K * + 13 + 6 * L

Kemudian untuk menghasilkan 35 unit produk dengan biaya minimum, maka harus menggunakan:

L = 59,36, K 42.05 =, dan M = 40,64 unit input.

Catatan:
1. 35 = 1,01278 * (59,36 ^ .317) * (42,05 ^ .417) * (40,64 ^ .186)
2. c (q) = 7 * L + 13 K * + 6 M * -> 1205 = 7 * 59,36 + 13 * 42.05 + 6 * 40,64
3. c = biaya rata-rata (q) / q -> 1.205,95 / 35 = 34,46

kombinasi input faktor lain juga akan menghasilkan 35 unit produk, seperti L = 74,01, K = 37,44, dan M = 36,19. Tapi, ini kombinasi akan lebih mahal pada harga-harga faktor diberikan.

Dengan kombinasi input tidak efisien:
1. 35 = 1,01278 * (74,01 ^ .317) * (37,44 ^ .417) * (36,19 ^ .186)
2. 1221,9 = 7 * 74,01 + 13 * 37,44 + 6 * 36,19
3. Biaya rata-rata = 1.221,9 / 35 = 34,91


Masukan L = 59,36, K = 42,05, dan M = 40,64 adalah kombinasi paling-biaya input yang akan menghasilkan q = 35 unit produk dengan harga input wL = 7, WK = 13, dan WM = 6.

Jika jumlah layak untuk setiap produk, kami menghitung biaya produksi produk yang menggunakan kombinasi meminimalkan biaya input, kita memperoleh fungsi biaya, dari mana biaya rata-rata dan fungsi biaya marjinal dapat diperoleh.
Grafik Biaya Rata-rata dan biaya marjinal
untuk Fungsi Produksi Cobb-Douglas


biaya rata-rata dan biaya marjinal meningkat, dan biaya marjinal lebih besar dari biaya rata-rata. Kedua hasil ini adalah akibat dari produksi Cobb-Douglas kami memiliki fungsi kembali menurun menjadi skala. Juga, kita melihat bahwa fungsi biaya tidak terlihat seperti fungsi biaya berbentuk U gunakan dalam model oligopoli.

, II. Meningkatkan kembali ke skala: alpha + beta + gama> 1

Dengan meningkatnya kembali ke skala, peningkatan proporsional dalam semua input akan meningkatkan output dengan lebih dari konstanta proporsional. Cobb-Douglas fungsi produksi kami sekarang mungkin berupa:

q = A * (L ^ .35) * (K ^ 0,4) * (M ^ .3)

dimana A = 1 dan alpha + beta + gama = 0,35 + 0,4 + 0,3 = 1,05> 1

Dengan harga-harga faktor yang sama seperti sebelumnya, kami menghitung biaya produksi produk yang menggunakan kombinasi meminimalkan biaya input, memperoleh fungsi biaya, dan biaya rata-rata dan fungsi biaya marjinal.
bahwa baik biaya rata-rata dan biaya marjinal yang menurun, dengan biaya marjinal di bawah biaya rata-rata, akibat dari meningkatnya kembali ke skala.
Fungsi Produksi Cobb-Douglas Data
Meningkatkan Kembali ke Skala


III. Jangka pendek - modal tetap - menurun kembali ke skala

Misalkan perusahaan kami adalah untuk beroperasi secara efisien (menggunakan kombinasi meminimalkan biaya input) menghasilkan produk dalam 25 - 35 range unit (menggunakan kembali Cobb-Douglas penurunan fungsi produksi). Mungkin mengatur modal K = 35,56, yang, dari tabel di atas, adalah jumlah modal yang berkaitan dengan memproduksi q = 30 unit produk.
Grafik Biaya rata-rata dan biaya marjinal
Cobb-Douglas Fungsi Produksi - Modal Tetap


Karena biaya marjinal hampir fungsi linear dari q, total biaya (dengan modal tetap) adalah hampir fungsi kuadrat dari q (sejak derivatif biaya, marjinal, adalah linier).
Fungsi Produksi Cobb-Douglas Data
Penurunan skala ekonomi
Modal Tetap
Perhatikan bahwa q 30 = adalah titik di mana jangka pendek (modal tetap), kurva biaya rata-rata bersinggungan dengan jangka panjang, Cobb Douglas kurva biaya rata-rata.

IV. Isokuan

Tingkat tertentu output, q = q, dapat dihasilkan oleh berbagai kombinasi input faktor, L, K, dan M. Memperbaiki tingkat output produk di q = q, kita memperoleh persamaan dari fungsi produksi Cobb-Douglas:

q = A * (L alpha ^) * (K beta ^) * (M ^ gamma) = f (L, K, M),

untuk permukaan isokuan 3-dimensi, ketika q = q.

Permukaan isokuan bersinggungan dengan pesawat isocost:

C (q) = * L wL + K * WK + WM M *

pada biaya meminimalkan kombinasi faktor input, (L, K, M) = (L, K, M).

Pertimbangkan lagi fungsi produksi Cobb-Douglas spesifik:

q = 1,01278 * (L ^ 0,317) * (K ^ 0,417) * (M ^ 0,186).

Bila q = 30 dan (wL, WK, WM) = (7, 13, 6), meminimalkan biaya input adalah:

(L, K, M) = (50,2, 35,56, 34,37), dan

C (30) = 7 * 50,2 + 13 * 35,56 + 6 * 34,37 = 1.019,91.

Memecahkan persamaan Cobb-Douglas untuk L, K, dan M pada gilirannya, kita mendapatkan:

1. L = q ^ (1/alpha) / (A * K * M ^ beta gamma ^) ^ (1/alpha),

2. K = q ^ (1/beta) / (A * L * M ^ alpha gamma ^) ^ (1/beta),

3. M = q ^ (1/gamma) / (A * L * alpha ^ ^ beta K) ^ (1/alpha),

tiga persamaan untuk permukaan isokuan 3-dimensi.

Dengan menetapkan jumlah input untuk satu faktor, kita mendapatkan kurva isokuan 2-dimensi. Sebagai contoh, memperbaiki M = M dalam persamaan 2, dan K = K dalam persamaan 3, kita mendapatkan:

2. → LK isokuan: K = q ^ (1/beta) / (A * L * M ^ alpha gamma ^) ^ (1/beta),

3. → LM isokuan: M = q ^ (1/gamma) / (A * L * alpha ^ ^ beta K) ^ (1/alpha),

dengan K dan M sebagai fungsi dari satu variabel, L. grafik diagram berikut, di biru, isokuan LK dan LM untuk q, = 24 30, dan 36.

Garis kuning mewakili garis isocost, kombinasi L, K, dan M yang dapat dibeli dengan total biaya konstan pada harga wL = 7, WK = 13, dan WM = 6.

Kemiringan garis isocost LK adalah mK =-wL / minggu = -7/13, kemiringan garis isocost LM mM-= wL / wm = -7 / 6.

Untuk q = 30, garis isocost LK-K memiliki intersep di (C (30) - WM * M) / minggu = (1.019,91-6 * 34,37) / 13 = 62,59,
sedangkan garis isocost LM memiliki M-intercept di (C (30) - * wk K) / wm = (1019,91-13 * 35,56) / 6 = 92,94.

Untuk q = 30, isokuan LK bersinggungan dengan garis isocost LK di (L, K) = (, 50,2 35,56), sedangkan isokuan LM bersinggungan dengan garis isocost LM di (L, M) =, (50,2 34,37 ).
L-K isokuan, = M M L-M isokuan, K = K


Sinar merah yang berasal dari asal dalam diagram berpotongan satu sama isokuan pada sudut yang sama. Akibatnya, isokuan apapun proyeksi radial setiap isokuan lain. Secara khusus, isokuan apapun proyeksi radial dari isokuan unit, yaitu isokuan untuk q = 1. Produksi fungsi dengan properti ini disebut fungsi produksi homothetic.



V. Formula

Tiga faktor Cobb-Douglas fungsi produksi adalah:

q = A * (L alpha ^) * (K beta ^) * (M gamma ^) = f (L, K, M).

a. Marjinal produk kerja: ∂ f (L, K, M) / ∂ L = fL = alpha * A * (^ L (alpha-1)) * (K beta ^) * (M gamma ^) = (alpha / L ) * f (L, K, M)

b. fungsi biaya marjinal: jika (L, K, M) adalah meminimalkan biaya kombinasi input pada harga (wL, WK, WM) untuk q output, maka
C '(q) C = ∂ / ∂ q = wL / (∂ f (L, K, M) / ∂ L)

VI. Kombinasi biaya terendah input

Cari nilai-nilai L, K, M, dan μ yang meminimalkan Lagrangian:

G (q, L, K, M, μ) = L * wL + * K WK + WM M * + μ * [q - f (L, K, M)]

1. GL = wL - μ * = 0 fL
2. GK = WK - μ * FK = 0
3. GM = wm - μ * fm = 0
4. Gμ = q - f (L, K, M) = 0

Dari persamaan a., b., dan c. kita mendapatkan:

5. wL / minggu = fL / FK = alpha * L / (beta * K) -> K = L * beta * wL / (alpha WK *)
6. wL / wm = fL / fm = alpha * L / (gamma * M) -> M = L * gamma * wL / (alpha * WM)
7. WK / wm = FK / fm = beta * K / (gamma * M)

E. mengganti persamaan dan f. ke dalam fungsi produksi Cobb-Douglas:

q = A * L ^ * alpha (L * wL * beta / (alpha * wk)) ^ * beta (L * gamma * wL / (alpha * WM)) gamma ^

Penyelesaian untuk menghasilkan L:

8. L = {q / [* A (beta * wL / (alpha WK *)) ^ beta * (gamma * wL / (alpha * WM)) ^ gamma]} ^ (1 / (alpha + beta + gamma))

= Q (1 / (alpha + beta + gamma)) * (alpha / wL) * [alpha ^ WK ^ wL * beta * wm ^ gamma / (A * alpha alpha ^ * ^ beta beta gamma gamma * ^)] ^ (1 / (alpha + beta + gamma))

Akhirnya, menggantikan e., f. dan h. ke dalam fungsi biaya:

C (q) = * L wL + K * minggu + WM M *

menghasilkan fungsi biaya, sebagai fungsi dari output, tergantung pada harga input dan parameter fungsi produksi Cobb-Douglas.

VII. Cobb-Douglas Fungsi Biaya

Jika kita benar-benar memecahkan secara eksplisit untuk C (q):

C (q, wL, WK, WM) = h (q) * c (wL, WK, WM)

mana kembali ke skala fungsi:

h (q) = q ^ (1 / (alpha + beta + gamma))

, fungsi terus meningkat dari q (q> = 1), dengan h (0) = 0 dan h (1) = 1.

dan fungsi biaya unit:

c (wL, WK, WM) = B * [alpha ^ WK ^ wL * beta * wm gamma ^] ^ (1 / (alpha + beta + gamma))

dengan B = (alpha + beta + gamma) / [A alpha alpha * ^ * ^ beta beta gamma gamma * ^] ^ (1 / (alpha + beta + gamma))

Biaya satuan fungsi c (wL, WK, WM) terlihat, menarik, seperti induknya - fungsi produksi Cobb-Douglas.

Fungsi produksi Cobb-Douglas disebut homothetic, karena fungsi biaya Cobb-Douglas dapat dipisahkan (faktor) menjadi fungsi dari output, q, kali fungsi dari harga input, wL, WK, dan WM.

VIII. Faktor permintaan fungsi:

Jika kita mengambil turunan dari fungsi biaya berkenaan dengan harga input, kita mendapatkan fungsi faktor permintaan untuk input bahwa:

∂ C / ∂ wL = h (q) * (alpha / wL) c * (wL, WK, WM) / (alpha + beta + gamma) = L

∂ C / ∂ minggu = h (q) * (beta / minggu) c * (wL, WK, WM) / (alpha + beta + gamma) = K

∂ C / ∂ WM = h (q) * (gamma / WM) * c (wL, WK, WM) / (alpha + beta + gamma) = M

IX. Sifat unit Cobb-Douglas Biaya Fungsi, c (wL, WK, WM).

a. c linier homogen dalam harga-harga faktor:

c (* t wL, * WK t, t * WM) = B * [(t * wL) ^ alpha * (WK * t) ^ * beta (t * WM) gamma ^] ^ (1 / (alpha + beta + gamma))

= T * c (wL, WK, WM)

b. c cekung harga faktor.

Periksa apakah Hessian untuk c fungsi negatif (semi) yang pasti.

X. Elastisitas substitusi antara input (sigma).

Dari persamaan e. V Bagian kita mendapatkan:

K / L = (beta / alpha) * (wl / minggu) → ln (K / L) = ln (beta / alpha) + ln (wL / WK)

sigma = d (ln (K / L)) / d (ln (wL / minggu)) = 1

XI. Negatif pasti:

The Hessian, H, dari suatu fungsi, f adalah negatif pasti, jika minor utama dari H alternatif dalam tanda, dimulai dengan negatif. Jika satu (atau lebih) minor utama memiliki nilai nol, f adalah negatif semidefinite.

Untuk fungsi produksi Cobb-Douglas:
H = fLL fLK FLM
fKL FKK FKM
fMK FML FMM

H1 = fLL =-alpha * f * (1 - alfa) / L ^ 2 <0 H2 = fLL fLK fKL FKK H2 =-alpha * f * (1 - alfa) / L ^ 2 * alpha * beta f / (L * K) alpha * * beta f / (L * K) *-beta f * (1 - beta) / K ^ 2 H2 = [alpha beta * / (L ^ 2 * K ^ 2)] * f * (1 - alfa - beta)> 0

= Penentuan H <(=) 0 H3 Contoh: Pertimbangkan fungsi Cobb-Douglas produksi tertentu: q = 1,01278 * (L ^ 0,317) * (K ^ 0,417) * (M ^ 0,186). Pada L = 50,20, K = 35,56, K = 34,366, q = 30 = 1,01278 * (50,20 ^ 0,317) * (35,56 ^ 0,417) * (34,366 ^ 0,186) H = fLL fLK FLM fKL FKK FKM fMK FML FMM = -0.00257711359252 H1 = fLL = -0,00257711359252 <0 H2 = [alpha beta * / (L ^ 2 * K ^ 2)] * f * (1 - alfa - beta) = 9.929358340000970e-006> 0

H3 = det (H) =-1.410896418980941e-008 <0

The Hessian dari fungsi produksi pasti negatif pasti pada L = 50,20, K = 35,56, K = 34,366







Bila diketahui bahwa fungsi produksi barang X dapat dirumuskan dalam format Cobb-Douglas Function Q = 5.K1/4L3/4 di mana Q0 = 1.000 unit
Diminta:
1. Hitunglah least-cost combination penggunaan input K dan L bila r = Rp. 10.000 per machine hour, dan w = Rp 5.000 per man hour.
2. Hitung kembali jawaban soal (a) bila Q’ = 1.100 dan Q” = 1.500
3. Buatlah rekapitulasi yang menggambarkan Cost Function
4. Susun kembali rekapitulasi tersebut pada soal c bila cost of capital naik 10% dan labor cost naik 5%
5. Dapatkah saudara menggambarkannya dalam bentuk grafik

Jawaban :
1. C = r.K + w.L
Meminimumkan biaya dengan kendala fungsi produksi
Dengan SOP optimasi:
minimumkan : C = r.K + w.L
yang memenuhi :
kendala : Q = 5.K1/4L3/4
fungsi sasaran : G = r.K + w.L – λ(5.K1/4L3/4 – Q)
Syarat primer:
= 0 ; = 0

Sehingga:
= r – λ.5.(1/4).K-3/4L3/4 = 0
r – λ.(5/4).K-3/4L3/4 = 0
λ.(5/4).K-3/4L3/4 = r
λ = r/((5/4).K-3/4L3/4)

= w – λ.5.(3/4).K1/4L-1/4 = 0
w – λ.(15/4).K1/4L-1/4 = 0
λ.(15/4).K1/4L-1/4 = w
λ = w/((15/4).K1/4L-1/4)

λ = λ

r/((5/4).K-3/4L3/4) = w/((15/4).K1/4L-1/4)
r.(15/4).K1/4L-1/4 = w.(5/4).K-3/4L3/4
kedua ruas dikali 4
r.15.K1/4L-1/4 = w.5.K-3/4L3/4
kedua ruas dibagi 5
r.3.K1/4L-1/4 = w.1.K-3/4L3/4
kedua ruas dikali K3/4.L1/4
r.3.K1L0 = w.K0L1
r.3.K1.1 = w.1.L1
r.3.K = w.L
r.3.K/w = L
L = r.3.K/w

Diketahui r = 10.000 per machine hour, w = Rp.5.000 per man hour

L = 10.000.3.K/5.000
L = 30.000K/5.000
L = 6K

Diketahui Q0 = 1.000 unit
Q = 5.K1/4L3/4
Q = 5. K1/4(6K)3/4
Q = 5. K1/4.63/4K3/4
Q = 5.63/4.K
Q = 19,17K
K = Q/19,17
K = 1.000/19.17
K = 52,17 machine hour
L = 6.K
L = 6. 52.17
L = 313,02 man hour

2. Bila Q’ = 1.100 unit
K = Q/19,17
K = 1.100/19.17
K = 57,38 machine hour
L = 6.K
L = 344,28 man hour
Bila Q” = 1.500
K = Q/19,17
K = 1.500/19.17
K = 78,25 machine hour
L = 6.K
L = 469,5 man hour

3. Rekapitulasi Cost schedule
r = Rp.10.000 per machine hour; w = Rp.5.000 per man hour
Q (unit) C (rupiah) = r.K + w.L Keterangan
1.000 2.086.800 K = 52,17; L = 313,02
1.100 2.295.200 K = 57,38; L = 344,28
1.500 3.130.000 K = 78,25; L = 469,5

1. Bila cost of capital naik 10%, labor cost naik 5%
r = 10.000 (1 + 10%)
r = 10.000 (1,1)
r = 11.000
w = 5.000 (1+5%)
w = 5.000 (1.05)
w = 5.250

Karena adanya perubahan r dan w, maka kombinasi penggunaan input optimal berubah menjadi:
L = r.3.K/w
L = 11.000.3.K/5.250
L = 33.000K/5.250
L = 6,29K

Sehingga
Q = 5.K1/4L3/4
Q = 5. K1/4(6,2857K)3/4
Q = 5. K1/4.6,28573/4K3/4
Q = 5.6,28573/4.K
Q = 19,85K
K = Q/19,85

Bika Q0 = 1.000
K = 1.000/19,85
K = 50,38
L = 6,29K
L = 6,29. 50,38
L = 316,18

Bila Q’ = 1.100
K = 1.100/19,85
K = 55,42
L = 6,29K
L = 6,29. 55,42
L = 348,59

Bila Q’ = 1.500
K = 1.500/19,85
K = 75,57
L = 6,29K
L = 6,29. 75,57
L = 475,34
r = Rp.11.000 per machine hour; w = Rp.5.250 per man hour

Q (unit) C (rupiah) = r.K + w.L Keterangan
1.000 2.214.125 K = 50,38; L = 316,18
1.100 2.439.718 K = 55,42; L = 348,59
1.500 3.326.805 K = 75,57; L = 475,34

1. Grafik Cost Function


Pada r = 10.000, w = 5.000
C = r.K + w.L
Q = 5.K1/4L3/4
L = 6.K

Q = 5.K1/4L3/4
Q = 5.K1/4.(6K)3/4
Q = 5.63/4.K1/4.K3/4
Q = 5.63/4.K
Q = 19,1682K
K = Q/19,1682
K = 0.0521.Q

C = r.K + w.L
C = 10.000.K + 5.000.6.K
C = 10.000.K + 30.000K
C = 40.000K
C = 40.000.0.0521.Q
C = 2084Q

Pada r = 11.000, w = 5.200
C = r.K + w.L
Q = 5.K1/4L3/4
L = 6,29K
Q = 5.K1/4L3/4
Q = 5.K1/4.(6,29K)3/4
Q = 5.6,293/4.K1/4.K3/4
Q = 5.63/4.K
Q = 19,8590K
K = Q/19,8590
K = 0.05036.Q

C = r.K + w.L
C = 11.000.K + 5.250.6,29.K
C = 11.000.K + 33.022,5K
C = 44.022,5K
C = 44.022,5. 0.05036.Q
C = 2.216,97Q
METODE LAGRANGE
Metode ini adalah cara menentukan titik maksimum dan minimum suatu fungsi yang diiringi dengan persyaratan atau kendala yang harus dipenuhi. Metode ini banyak digunakan dalam berbagai masalah terapan di dunia nyata, terutama di bidang ekonomi. Sebagai contoh, seorang pengusaha ingin memaksimumkan keuntungan, tapi dibatasi oleh banyaknya bahan mentah yang tersedia, banyaknya tenaga kerja dan sebagainya.
Metode ini akan membantu kita untuk memperoleh nilai-nilai maksimim relatif atau minimum relative dari fungsi f(x,y) yang dipengaruhi oleh fungsi persyaratan g((x,y) = 0, terdiri atas pembentukan fungsi penolong.
F(x,y, ) = f(x,y) + g(x,y)
dengan persyaratan :
= 0 , = 0, = 0
yang merupakan syarat perlu untuk maksimum relative maupun minimum relative. Parameter yang tidak tergantung pada x, dan y disebut pengali lagrange.

1.Kasus Dengan Satu Pengali Lagrange
Untuk suatu masalah yang melibatkan satu persyaratan, diperlukan hanya satu parameter sebagai pengali lagrange.
Jika f(x,y) merupakan suatu fungsi yang akan ditentuka nilai maksimum atau minimum relatifnya dan g((x,y) = 0 adalah persyaratan yang harus dipenuhi, maka fungsi penolongnya berbentuk
F(x,y, ) = f(x,y) + g(x,y)
Fungsi penolong F(x,y, ) ini adalah fungsi dari tiga variabel x,y dan .
Dapat ditunjukkan bahwa suatu maksimum relatif atau minimum relatif dari F adalah juga merupakan maksimum (minimum) relatif dari f(x,y) dengan persyaratan g((x,y) = 0

Maka harus dipenuhi persyaratan:
= + = 0
= + = 0
= g(x,y) = 0
Setiap penyelesaian dari sistem persamaan ini adalah suatu nilai kritis dari fungsi f(x,y).
Contoh 1 :
Tentukan nilai maksimum dari f(x,y) = xy dengan syarat : g(x,y) = x + y – 16 = 0
jawab :
F(x,y, ) = f(x,y) + g(x,y)
=xy + (x + y - 16)
= y + = 0 y =
= x + = 0 x =
= x + y – 16 – 16 = 0
= 16
= -8
karena = -8, maka : x = y =
x = 8 y = 8


titik kritis dicapai jika x = 8 dan y = 8 dengan nilai minimum f(x,y) = xy
= 8.8
=16 ( nilai minimum)